Résumé et contexte :

L'axiomatisation est le pendant mathématique de la démarche de factorisation en informatique, notamment en POO.

Ce cours vise à apporter un regard sur l'intérêt de cette pratique dans les contextes algébriques et arithmétiques, pour l'informatique.

Il souhaite par ailleurs présenter en filigrane les différentes structures usuelles auxquelles les étudiants auront à faire au cours de leur scolarité. Il s'agit d'une grille de lecture des structures computationnelles standards.


Acquis d'apprentissages visés :

Dans le cadre d'une application directe du cours :
- Hiérarchiser les plus usuelles des structures de calcul arithmétiques : les anneaux, suivant les pathologies qu'on veut éviter où les possibilités qu'on veut se permettre.
- Formaliser la notion de symétrie dans des cas simples ; l'objectif étant de donner corps à la notion d'invariant et de transformation.
- Utiliser des modèles d'algèbre linéaire sur des corps de base qui n'est pas le corps des réels, dans un contexte informatique.
- Identifier la structure algébrique à laquelle peut s'étendre un algorithme computationnel.

Dans le cadre du développement informatique :
- Identifier le bon degré d'abstraction dans lequel écrire un code dans une hiérarchie d'héritage pré-existante.
- Inférer le substrat de structure commune à deux structures de données à l'étude.

Plan cours

1. L'arithmétique autrement :
- Que faut-il faire pour faire de l'arithmétique
- L'arithmétique ailleurs
- Cartographie d'anneaux
- Chiffrement sur les entiers de Gauss
- Activité : coder une division euclidienne 2.0

2. Algèbre linéaire ailleurs que sur les réels :
- Pourquoi étendre l'algèbre linéaire ailleurs que sur les réels ?
- Espaces vectoriels et applications linéaires sur un corps
- Formes bilinéaires sur un corps
- Activité : estimer la différence entre binaires.

3. Formaliser la symétrie
- Comment parler de symétrie ?
- La notion de groupe
- Les exemples du groupe orthogonal et des groupes de permutations
- Actions de groupes