Résumé et contexte

Le cours vise à apporter une familiarité avec les objets mathématiques matrices des modèles probabilistes, statistiques et de mathématiques du signal. Il apporte les éléments techniques nécessaires à la manipulation des suites d’intégrales au cœur de l’analyse des comportements d’échantillons statistiques à grande échelle et une familiarité avec les intégrales à paramètres qui apparaissent comme opérateurs en mathématiques du signal et d’automatique.

À l’issue de ce cours, les étudiants sont individuellement capables de :

- décider de la bonne définition d'une intégrale généralisée
- décider de la convergence d’une suite d’intégrales et d’en exhiber (si possible) la limite.
- identifier les propriétés dont peut jouir une intégrale à paramètres spécifiques dans les cas les plus usuels (Transformée de Fourier ou de Laplace)
- simplifier des expressions impliquant des limites de suites d’intégrales ou des intégrales à paramètres.
- valider un raisonnement impliquant des questions de convergences de suites d’intégrales ou des intégrales à paramètres.

Dans le cadre des questions de modélisation en Maths du Signal, Probabilités et Automatiques :

- calculer les moments et grandeurs probabilistes liées à une variable aléatoire à densité.
- reconnaître les hypothèses et arguments utilisés dans les preuves de convergences en probabilités.
- calculer la transformée de Fourier, de Laplace, etc d’une fonction.

Plan cours

- Définition et études des intégrales de fonctions un intervalle infini ou un non défini aux bornes d'intégration.
- Convergences des suites d’intégrales et théorème de convergence dominée.
- Étude des intégrales à paramètres ; notamment les transformées de Fourier et de Laplace et produit de convolution.


Format des activités

- Séances de Remédiation.
- Séances de TDs.

On retrouve deux types d'évaluation :

- des évaluations formatives [EF] : il s'agit d'évaluations automatiques Moodle, qui seront accessibles sur deux jours et qui visent d'une part à vous accompagner dans votre apprentissage et de l'autre à vous permettre de savoir où vous en êtes. Ces évaluations seront notées à la participation sérieuse, une barre de réussite vous sera communiquée en amont, vous êtes au-dessus de la barre vous avez tous les points, vous êtes en dessous vous n'en avez aucun.

- des évaluations sommatives [ES] : il s'agira de deux évaluations de 1h chacune. Ce seront des épreuves mixtes, rédactionnelles et automatiques sur Moodle.

Calcul de note finale

- [EF] : la moyenne des notes formatives.
- [ES] : 40% [ES1] + 60% [ES2]

La note finale [ECUE] de l'ECUE est calculée par la formule : [ECUE] = 20% [EF] + 80% [ES]