Résumé et contexte

La majorité des modèles mathématiques d’usage dans l'ingénierie prennent en compte un (grand) nombre de paramètres ; autrement dit de fonctions de plusieurs variables.

Ce cours travaille les points de bascules qui permettent à la fois d’étendre des concepts en dimension 1, comme la régularité, dérivabilité, dérivation et intégration au cas de dimension plus grande.

Ils s’attardent par ailleurs sur les résultats dont l’extension à ce cadre n’est pas garantie.

Acquis d’apprentissages visés

- Discerner le comportement local pathologique que peut avoir une fonction à plusieurs variables comparativement à une fonction multivariée
- Transposer les expressions usuelles d'approximations locales de fonctions réelles sous forme matricielle dans le cas de dimension finie quelconque
- Interpréter les comportements locaux aux voisinages des points critiques de petite dimension.
- Calculer des aires et des volumes à l’aide d’une étude analytico-géométrique.


Plan cours

1. Géométrie et topologie de $\R^n$
- Se donner des lieux de $\R^n$ : paramétriquement comme graphe d’une fonction, implicitement comme courbe de niveau.
- La topologie dans $\R^n$ : les normes (ou comment mesurer des distances), les boules de $\R^n$, la notion de voisinage d’un point, extension des notions de continuité, de limite et de comparaison.

2. Calcul différentiel dans $\R^n$ A. Calcul différentiel du premier ordre :
- Fonctions partielles et dérivées partielles
- Jacobienne et gradient
- Approximation du premier ordre d'une fonction multivariée
- Un aparté sur la notion de différentiabilité
- Hessienne et approximation de second ordre
- Points critiques en dimension > 1

3. Calcul d’intégrales multiples
- Comment calculer des intégrales multiples simples
- Changement de variables dans les intégrales multiples.


Format des activités

- Séances de Remédiation.
- Séances de TDs.

On retrouve deux types d'évaluation :

- des évaluations formatives [EF] : il s'agit d'évaluations automatiques Moodle, qui seront accessibles sur deux jours et qui visent d'une part à vous accompagner dans votre apprentissage et de l'autre à vous permettre de savoir où vous en êtes. Ces évaluations seront notées à la participation sérieuse, une barre de réussite vous sera communiquée en amont : vous êtes au-dessus de la barre vous avez tous les points, vous êtes en dessous vous n'en avez aucun.

- des évaluations sommatives [ES] : il s'agira de deux évaluations de 1h chacune. Ce seront des épreuves mixtes, rédactionnelles et automatiques sur Moodle.


Calcul de note finale

- [EF] : la moyenne des notes formatives.
- [ES] : 40% [ES1] + 60% [ES2]

La note finale [ECUE] de l'ECUE est calculée par la formule : [ECUE] = 20% [ES] + 80% [ES]