Résumé et contexte

Ce cours vise à apporter une sensibilité pour les problématiques de convergences fonctionnelles, notamment en application des problématiques d'approximation de fonctions. Là où la question de la représentation des nombres réels en machines est déjà abordée dans le cursus, celle d'étendre cette question aux cas des fonctions ne l'est pas encore.

Après une première phase d'analyse des difficultés théoriques que pose la question d'approcher des fonctions par d'autres, on s'attaque à la question d'approximation de fonctions par des fonctions polynomiales ou trigonométriques. Le second cas d'étude est un pré-requis aux enseignements de mathématiques du signal.

Dans le cadre du cours les étudiants sont capables individuellement de :

- donner des exemples d'espaces métriques ;
- comparer différentes métriques sur un même ensemble sous-jacent ;
- étudier la convergence d'une suite ou série de fonctions dans des cas calculatoirement simples ;
- relier les différents types de convergences fonctionnelles entre eux ;
- énoncer les hypothèses liées à la convergence des suites de Fourier.

Plan cours

1. De l’importance des suites et séries de fonctions.

2. Mesurer des distances entre objets :
- Notions d'espaces métriques, exemples et contre-exemples
- Ce qu'apporte la notion de distance à la définition de limite.

3. Comment approcher des fonctions ?
- Définition de convergence simple, pathologies d'une telle définition.
- Convergence fonctionnelles associées à la distance uniforme.
- Variations dans le cas des séries de fonctions.

4. Approcher des fonctions périodiques.

Format des activités

- Séances de Remédiation.
- Séances de TDs

Évaluation des AAVs

On retrouve deux types d'évaluation dans cette ECUE :

- des évaluations formatives [EF] : il s'agit d'évaluations automatiques Moodle, qui seront accessibles sur deux jours et qui visent d'une part à vous accompagner dans votre apprentissage et de l'autre à vous permettre de savoir où vous en êtes. Ces évaluations seront notées à la participation sérieuse, une barre de réussite vous sera communiquée en amont : vous êtes au-dessus de la barre vous avez tous les points, vous êtes en dessous vous n'en avez aucun.

- des évaluations sommatives [ES] : il s'agira de deux évaluations de 1h30 chacune. Ce seront des épreuves mixtes, rédactionnelles et automatiques sur Moodle.

Calcul de note finale

- [EF] : la moyenne des notes formatives.
- [ES] : 40% [ES1] + 60% [ES2]

La note finale [ECUE] de l'ECUE est calculée par la formule : [ECUE] = 20% [ES] + 80% [ES]